三角比、三角関数を学ぼう
そもそも三角比、三角関数って何だっけ？
恐らく多くの人が高校で学ぶであろうの三角比や、三角関数。これらをよく分からないまま高校を卒業しまい、習った内容が記憶の彼方に行ってしまった方や、「今から三角関数とか習うけど一体こいつらは何もの？」と思う中高生もいるでしょう。
今回は上記のような方々を対象にしています。「私はもうsin、cos、tanなんか完璧だ」と言う方々は、是非とも暖かい目でこの記事を読んでいただけると幸いです。
三角比や三角関数は我々の生活する場面の至る所に存在しています。GPSやゲーム、ノイズフィルター、CGなどなど。まだまだ三角比、三角関数を利用している場面はたくさんありますが、ここで一度割愛させていただきます。
今回の記事で少しでも三角比や三角関数に対する知識や、考え方が良い方向に向くことを願っています。
それでは三角比で最初に見る、サイン、コサイン、タンジェントについて学んでいきましょう。
サイン(sin)とは
三角比を学ぶ上で私も例に漏れず直角三角形1)を利用していきます。
上記の図でギリシャ文字の「θ」というものを利用しています。これは辺acのなす角度を一般化したものであり、角はギリシャ文字で表現することが多く、絶対にギリシャ文字を使わなくてはならないという決まりはありません。
さて、上記の直角三角形で角θと2辺bとcを見ていきます。
ここから角θと2辺の長さの関係を調べていきます。
角θの大きさを変えずに辺b、cの長さを変えていきます。その長さをb'とc'とおきます。
そうした場合の図形は以下のようになります。
このb'とc'の比率を2倍3倍にしていっても、θの値は変わりません。そしてb'とc'は比例関係にあり、bとcの比も一定関係なので、これを言い換えると角θの大きさが一定であるならばb / c の値は一定と言うことになります。
つまりこの事実を言い換えると、角θの大きさが決まれば、b / cの値も決まります。
そして、直角三角形の2辺の比でsinθを定義してみると(0 < θ < 90°)
sinθ = b / c
よって上記の式より、sinはθを用いてb / cを求める関数と言うことになります。
サイン(sin)の覚え方
コサイン(cos)とは
コサインも先程のサインと同じように角θの値を一定に2辺a、cの値を2倍してみましょう。
今度も角θの値が一定であれば辺a、cの比も一定になりますね。
これもsinと同様に分数a / cの値がcosθの値になります。(0 < θ < 90°)
先程見たサインと非常に形が似てますね。
cosθ = a / c
コサイン(cos)の覚え方
タンジェント(tan)とは
もうsinとcosの導出には慣れてきましたか？最後に紹介するのはタンジェント(tan)です。
結論から申し上げますとこのtanは直角三角形の鋭角とそれに対する底辺と対辺の比のことを言います。
tanθ = b / a
タンジェント(tan)の覚え方
円を用いた三角関数の表現
次に三角関数を円で表現していきます。「円で三角形を表現？」と疑問に持つ人もいるでしょう。しかしこの円で表現することにより三角関数の可能性がグッと広がります。
今までsinθとcosθを表現する時に(0 < θ < 90°)と書いていたと思います。これは直角三角形でsinやcosを定義していたからです。しかし、これでは角度θが0°〜90°までで制限されてしまい少し窮屈ですね。これを解決するために単位円2)を利用します。半径が1であるためcの値も1になります。これによりおのずとbの値も見えてきますね。
つまりsinθは点Pのy座標と言うことに定めることができます。また円内部で三角形を定義しているのでsinθ < 0を表現することができます。この部分は是非自分で試してみてください。(x軸の下に点Pがきます)
同様に単位円上の点Pのx座標もcosθを定義することにより表現できます。
最後に
いかがでしたか？本記事で三角関数などで用いるsin、cos、tanの意味などが少しわかりましたか？。今回学んだことを利用すれば、学校の勉強は言わずもがな、色々なところで利用することが出来ます。皆様も是非楽しい三角関数ライフを！！
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補足
1)三角形の中にある角のうち1つの角が直角である三角形
2)半径が1の円
